Abels teorem.html

I reell analyse i matematikk relaterer Abels teorem for potensserier, grensen for en potensserie til summen av dens koeffisienter. Abels teorem er oppkalt etter den norske matematikeren Niels Henrik Abel.

Innhold

1 Teorem
2 Bemerkning
3 Eksempler
4 Anvendelsesområder
5 Beslektede konsepter
6 Eksterne lenker

rediger Teorem

La a = {a_i: i ≥ 0} være en vilkårlig sekvens av reelle eller komplekse tall og la

$G_a(z) = \sum_{i=0}^{\infty} a_i z^i\!$

være potensserien med koeffisientene a. Anta at serien $\sum_{i=0}^\infty a_i\!$ konvergerer. Da

$\lim_{z\rightarrow 1^-} G_a(z) = \sum_{i=0}^{\infty} a_i.\qquad (*)\!$

I det spesielle tilfellet da alle koeffisientene a_i er reelle og a_i ≥ 0 for alle i, vil uttrykket overfor $( * )$ gjelde også når serien $\sum_{i=0}^\infty a_i\!$ ikke konvergerer. I så tilfelle er begge sidene av uttrykket lik +∞.

rediger Bemerkning

I en mer generell versjon av dette teoremet gjelder følgende: hvis r er et tilfeldig reelt tall unntatt null og serien $\sum_{i=0}^\infty a_i r^i\!$ konvergerer for dette tallet, da følger det at

$\lim_{z\to r} G_a(z) = \sum_{i=0}^{\infty} a_ir^i\!$

forutsatt at vi tolker grensen for dette uttrykket som en énsidig grense, fra venstre hvis r er positiv og fra høyre hvis r er negativ.

rediger Eksempler

La $f(x)=\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = \log (1+x).$ Da $\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ konvergerer (av konvergenskriteriet for alternerende rekker,) følger

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \log 2 = \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n}.$

La $g(x)= \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = \arctan (x).$ Igjen følger det av konvergenskriteriet for alternerende rekker, at $\sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n}{2n+1}$ konvergerer, og at

$\lim_{x \to 1^-} g(x) = \arctan (1) = \frac{\pi}{4} = \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n}{2n+1}.$

rediger Anvendelsesområder

Anvendelsen av Abels teorem er knyttet til at den muliggjør å finne grensen til en potensserie mens dets argument (dvs. z) nærmer seg 1 nedenfra, selv i tilfeller der konvergens radius R, for potensserien er lik 1 og man ikke kan fastslå om grensen burde være endelig eller ikke. Se for eksempel binomial seriene.

G_a(z) kalles den genererende funksjon for sekvensen a. Abels teorem er ofte nyttig ved generering av funksjoner med sekvenser av reelle ikke-negative verdier, som sannsynlighetsgenererende funksjoner. Den er særlig nyttig i teorien om Galton-Watson prosesser.

rediger Beslektede konsepter

Konverse teoremer til et som Abels kalles Tauberiske teoremer: det finnes ingen nøyaktig konvers, kun resultater som betinger en hypotese. Fagområdet divergerende serier og deres summasjons metoder inneholder mange teoremer av abelsk type og av tauberisk type.

rediger Eksterne lenker

Abel summeringsevne på PlanetMath (en mer generell redegjørelse for Abelske teoremer av denne typen)
A.A. Zakharov (2001), Abel summeringsmetode, i Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104