Natuurlijk getal.html



De verzameling van de natuurlijke getallen zijn de getallen die resultaat zijn van een telling van een eindig aantal dingen of de verzameling die bestaat uit de getallen 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... De verzameling wordt aangegeven met het symbool . Vroeger werd het getal 0 niet als natuurlijk getal opgevat - men begint immers te tellen bij 1 - en ook tegenwoordig zijn er nog aanhangers van deze opvatting (zie historie).

Als de verzameling van de natuurlijke getallen wordt aangevuld met -1, -2, -3, ... , ontstaan de gehele getallen aangeduid door het symbool . De natuurlijke getallen vormen dus een deelverzameling van de verzameling van de gehele getallen:

De volgende notaties worden ook gebruikt:

• Positieve gehele getallen (inclusief 0): of
• Strikt-positieve gehele getallen (exclusief 0):
• Strikt-negatieve gehele getallen (exclusief 0):
• Negatieve gehele getallen (inclusief 0):

Getallen in de vorm n + n (of 2n), waarbij n behoort tot , noemt men even; dit is de verzameling {0, 2, 4, 6, 8, ...}. De overige getallen in noemt men oneven; dit is de verzameling {1, 3, 5, 7, ...}. Oneven getallen kunnen geschreven worden als 2n + 1.

bewerk Axiomatische definities

In de verzamelingenleer van Zermelo-Fraenkel (ZF) worden natuurlijke getallen gedefinieerd met behulp van verzamelingen. De definities zijn:

• 0:=∅
• 1:=0+1={∅}
• 2:=1+1={∅,1}={∅,{∅}}

algemeen:

• n+1:= n ∪ {n}

Met n+1 wordt hier het symbool voor het getal n+1 bedoeld. Een van de axioma's van ZF is het bestaan van een opvolgerverzameling: De kleinste verzameling die hieraan voldoet is .

Ouder dan ZF zijn de axioma's van Peano. Deze axioma's zijn in ZF af te leiden. De axioma's van Peano luiden:

• Er is een natuurlijk getal 0.
• Elk natuurlijk getal heeft een opvolger.
• 0 is niet de opvolger van enig natuurlijk getal.
• Verschillende natuurlijke getallen hebben verschillende opvolgers
• Een verzameling natuurlijke getallen die 0 bevat en met elk getal ook diens opvolger, is de verzameling van alle natuurlijke getallen.

Op dit laatste axioma steunt het bewijs met behulp van volledige inductie.

Alle verzamelingen waarvoor een bijectie bestaat met worden aftelbaar oneindige verzamelingen genoemd. Dit is onder meer het geval voor de verzameling van de even getallen, voor de oneven getallen en voor de priemgetallen; alle drie zijn dit deelverzamelingen van .

Getallenverzamelingen zijn een belangrijk begrip in de tak van de wiskunde die getaltheorie wordt genoemd.

bewerk Historie

De natuurlijke getallen ontstonden natuurlijk bij het tellen van voorwerpen. Bv: "ik heb vier schapen", "hij is de derde zoon". Het getal nul komt hierbij niet voor: er wordt geteld vanaf een.

De Babyloniërs en ook de Egyptenaren ontwikkelden een systeem met cijfers om getallen voor te stellen. Zo konden ook grote getallen gemakkelijker opgeschreven worden. De Egyptenaren hadden aparte hiërogliefen voor de cijfers 1 t/m 10 en voor alle machten van 10, tot en met 1 miljoen. Op een steen in Karnak komen bijvoorbeeld de getallen 276 (twee honderden zeven tienen zes enen) en 4622 voor. Dit dateert van 1500 v.Chr..

Nog later werd in Babylonië het teken 'nul' toegevoegd, als plaatsvervangend teken voor bijvoorbeeld geen hondertallen. Zo waren de tekens voor hondertallen, tientallen, ... niet meer nodig; de positie van het cijfer duidt aan of er hondertallen, tientallen, ... worden bedoeld. Zij beschouwden 0 zelf echter niet als een natuurlijk getal. De Babyloniërs gebruikten vanaf ca. 450 v.Chr. wel een geschreven teken voor een positie van een nul, maar niet wanneer dit als eerste of als laatste teken in een getal voorkwam.
De Maya-beschaving gebruikte 0 wel als apart getal vanaf 1e eeuw v.Chr.

De getaltheorie, oorspronkelijk de studie van natuurlijke getallen, begon met de Griekse filosofen Pythagoras en Archimedes. Ook in Indië, China en Midden-Amerika werden onafhankelijk daarvan rond dezelfde tijd vergelijkbare studies gemaakt.

De moderne beschouwing van de natuurlijke getallen komt van de Indische wiskundige Brahmagupta in 628 na Chr.. Pas meer dan vijf eeuwen later aanvaardden ook de Europese wiskundigen het idee dat 0 een apart getal is, meestal echter niet als natuurlijk getal.

In de 19e eeuw formuleerde Peano een axiomatische definitie van de natuurlijke getallen, gebaseerd op de verzamelingenleer, waarin hij het getal 0 ook tot de natuurlijke getallen liet behoren. Dat neemt niet weg dat bij het tellen vanaf 1 geteld wordt. Echter bij gebruik van de natuurlijke getallen als index is het soms handig om als laagste index 0 te nemen.

bewerk Zie ook

• Lijst van natuurlijke getallen
• Getallen en getalverzamelingen
• telwoord