Mersennepriemgetal.html

In de wiskunde is een Mersenne-getal een positief geheel getal dat precies één kleiner is dan een macht van twee:

$M_n=2^n-1.\,$

Sommige definities van Mersenne-getallen vereisen dat de exponent n een priemgetal is. Een Mersenne-priemgetal is een Mersenne-getal dat een priemgetal is. Mersenne-priemgetallen zijn genoemd naar de Franse wiskundige Marin Mersenne, die deze getallen in de 17e eeuw voor het eerst onderzocht.

In december 2008 zijn er slechts 46 Mersenne-priemgetallen bekend. Het grootst bekende priemgetal (2^43112609-1) is een Mersenne-priemgetal; in de moderne tijd is het grootst bekende priemgetal bijna altijd een Mersenne-priemgetal. ^[1] Net als een aantal eerder ontdekte Mersenne-priemgetallen, werd het ontdekt door het GIMPS distributed computing-project op het internet (zie bij de externe linken). Het was de eerste bekende priemgetal met meer dan 10 miljoen cijfers.

Inhoud

1 Beschrijving
2 Perfecte getallen en Mersenne-priemgetallen
3 Bekende mersennepriemgetallen
4 Voetnoten
5 Externe links

bewerk Beschrijving

In 1644 claimde Mersenne dat p priem is als n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 en 257; maar dat p een samengesteld getal is wanneer n een van de andere priemgetallen, kleiner dan 257, is. Mersenne zat er wat betreft bovenstaande rij vijf keer naast. M₆₇ en M₂₅₇ zijn geen priemgetallen, terwijl M₆₁, M₈₉ en M₁₀₇ dit juist wel zijn.

Een basisstelling over Mersenne-getallen stelt dat wil M_n een Mersenne-priemgetal zijn, dat dan de exponent n zelf ook een priemgetal moet zijn. Dit sluit getallen, zoals M₄ = 2⁴−1 = 15 uit, aangezien de exponent 4=2×2 samengesteld is; de stelling voorspelt dat 15 ook samengesteld is; en inderdaad 15 = 3×5. De drie kleinste Mersenne-priemgetallen zijn

M₂ = 3, M₃ = 7, M₅ = 31.

Hoewel het waar is alleen Mersenne-getallen M_p, waar p = 2, 3, 5, … priem kunnen zijn, kan het niettemin het geval zijn dat M_p geen priemgetal is, zelfs niet voor priemexponent p. Het kleinste tegenvoorbeeld is het Mersenne-getal

M₁₁ = 2¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89

M₁₁> is geen priemgetal, hoewel 11 dit wel is. Het ontbreken van een duidelijke regel om te bepalen of een gegeven Mersenne-getal een priemgetal is maakt de zoektocht naar Mersenne-priemgetallen een interessante taak, die aangezien Mersenne-getallen zeer snel groeien, heel snel zeer moeilijk wordt. De Lucas-Lehmertest voor mersennegetallen is een efficiënte priemgetaltest, die heden ten dage wordt gebruikt om te bepalen een Mersenne-getal ook een Mersenne-priemgetal is. Deze test is eenvoudiger uit te voeren dan testen voor andere typen van getallen. Het grootst bekende priemgetal is daarom vrijwel altijd een Mersenne-priemgetal. Het grootst bekende Mersenne-priemgetal is nu (december 2008) 2^43112609-1 (met 12.978.189 cijfers).

bewerk Perfecte getallen en Mersenne-priemgetallen

Er is een verband tussen mersennepriemgetallen en perfecte getallen. Perfecte getallen zijn getallen waarbij de som van de delers gelijk is aan het getal zelf. Er geldt namelijk dat als 2ⁿ-1 een priemgetal is, dat dan $2^{n-1}\cdot(2^n-1)$ een perfect getal is. Het omgekeerde geldt ook: ieder (in ieder geval even) perfect getal kan geschreven worden als $2^{n-1}\cdot(2^n-1)$ waarbij n een priemgetal is en 2ⁿ-1 een mersennepriemgetal.

Bijvoorbeeld: voor n = 3 geldt dat 2ⁿ-1 = 2³-1 = 7 een priemgetal is.
$2^{n-1}\cdot(2^n-1)$ wordt dan $2^2\cdot(2^3-1)$ = 4 * 7 = 28 is een perfect getal.

Toepassingen van mersennepriemgetallen liggen in beveiliging van gegevens met behulp van encryptie, en in het genereren van toevalsgetallen (met hulp van de Mersenne-twister).

bewerk Bekende mersennepriemgetallen

Er zijn op dit moment 46 mersennepriemgetallen bekend, het laatste is in september 2008 gevonden.

Datum van ontdekking	Getal	Ontdekt door
6 september 2008	2^37 156 667-1 (met 11 185 272 cijfers)	Hans-Michael Elvenich/GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) Niet het grootste op dit moment!
23 augustus 2008	2^43 112 609-1 (met 12 978 189 cijfers)	Wiskundedepartement van de Universiteit van Californië in Los Angeles/GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search)
4 september 2006	2^32 582 657-1 (met 9 808 358 cijfers)	Curtis Cooper en Steven Boone/GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search)
15 december 2005	2^30 402 457-1 (met 9 152 052 cijfers)	Curtis Cooper en Steven Boone/GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search)
28 februari 2005	2^25 964 951 -1 (met 7 816 230 cijfers)
15 mei 2004	2^24 036 583 -1 (met 7 235 733 cijfers)
17 november 2003	2^20 996 011 -1 (met 6 320 430 cijfers)
14 november 2001	2^13 466 917-1
1 juni 1999	2^6 972 593-1
27 januari 1998	2^3 021 377-1
24 augustus 1997	2^2 976 221-1
november 1996	2^1 398 269-1
1996	2^1 257 787-1
1994	2^859 443-1
1992	2^756 839-1
1988	2^110 503-1 (Niet de grootste van dat moment!)
1985	2^216 091-1
1983	2^132 049-1
1982	2^86 243-1
1979	2^23 209-1, 2^44 497-1
1978	2^21 701-1
1971	2^19 937-1
1963	2⁹⁶⁸⁹-1, 2⁹⁹⁴¹-1, 2^11 213-1
1961	2⁴²⁵³-1, 2⁴⁴²³-1
1957	2³²¹⁷-1
1952	2⁵²¹-1, 2⁶⁰⁷-1, 2¹²⁷⁹-1, 2²²⁰³-1, 2²²⁸¹-1
Vóór 1915	2²-1, 2³-1, 2⁵-1, 2⁷-1, 2¹³-1, 2¹⁷-1 2¹⁹-1, 2³¹-1, 2⁶¹-1, 2⁸⁹-1, 2¹⁰⁷-1, 2¹²⁷-1

bewerk Voetnoten

^ Het grootste bekende priemgetal is sinds 1952 een Mersenne-priemgetal, met uitzondering van de periode van 1989 tot 1992, zie Caldwell, "Het grootste bekende priemgetal per jaar: een korte geschiedenis uit de Prime Pages website Universiteit van Tennessee in Martin .

bewerk Externe links

GIMPS-project: Great Internet Mersenne Prime Search (en)

Bijzondere getallen
Bevriende getallen - Bijna perfect getal - Constante van Gelfond - Constante van Kaprekar - e - Fermatgetal - Gebrekkig getal - Getal van Graham - Gulden snede - Kaprekargetal - Mersennepriemgetal - Natuurlijk getal - Overvloedig getal - Perfect getal - Pi - Priemgetal - Priemtweeling - Samengesteld getal - Semiperfect getal - Sphenisch getal